What is probability theory?

Sample space, outcomes, and events

 

확률론에서 Sample Space는 가능한 모든 결과를 포함하는 집합

Events는 샘플 공간의 부분 집합으로, 하나 이상의 결과를 포함할 수 있으며, 특정 조건을 만족하는 결과의 집합

Outcomes는 샘플 공간의 개별 원소로, 하나의 가능한 결과를 나타냄

 

Sample Space

• 예를 들어, 동전을 한 번 던지는 경우 Sample Space는 {앞면, 뒷면}
• 여기서 두 가지 결과만 가능

 

Event

• 동전의 예에서 ‘앞면이 나오는 사건’은 {앞면}으로 표현되며, 이는 샘플 공간의 부분 집합
• 또 다른 예로, 주사위를 한 번 굴리는 경우의 사건 중 하나는 ‘짝수가 나오는 사건’이 될 수 있으며, 이는 {2, 4, 6}으로 표현

 

Outcome

• 주사위를 굴렸을 때, ‘4가 나온 결과’는 단순히 {4}로 표현되며, 이는 샘플 공간 {1, 2, 3, 4, 5, 6}의 한 원소

 

Set notation

• 샘플 공간 (Sample Space): 이는 가능한 모든 결과의 집합인 Ω(오메가)를 의미
• 집합의 요소 (Element of a Set): 어떤 점 ω가 샘플 공간 Ω에 속할 때, 이를 ω ∈ Ω로 나타냄
• 부분집합 (Subset): 두 집합 A와 B가 있을 때, A의 모든 점이 B에도 속한다면, A는 B의 부분집합. 즉 A ⊆ B. 만약 A ⊆ B이고 B ⊆ A라면, A와 B는 같은 집합으로 간주되며, A = B로 표현
• 진부분집합 (Proper Subset): 만약 A ⊆ B이지만 A ≠ B라면, A는 B의 진부분집합으로 간주
• 집합 연산 (Set Operations):
• 합집합 (Union) : 두 집합 A와 B의 합집합은 A와 B에 속하는 모든 원소들을 포함하는 집합으로, A ∪ B로 표기, '합집합'은 적어도 A나 B 중 하나에 속하는 모든 원소를 의미
• 교집합 (Intersection) : 두 집합 A와 B의 교집합은 A와 B에 동시에 속하는 원소들로 구성된 집합으로, A ∩ B로 표기됩니다. '교집합'은 A와 B 모두에 속하는 원소들만을 의미
• 차집합 (Set Difference) : 집합 B에서 A를 뺀 차집합은 B에 속하면서 동시에 A에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합으로, B \ A로 표기
• 여집합 (Complement) : 집합 A의 여집합은 샘플 공간 Ω 내에서 A에 속하지 않는 모든 원소들로 구성된 집합으로, Aᶜ로 표기
• 공집합 (Empty Set) : 공집합은 어떤 원소도 포함하지 않는 집합으로, Ø로 표기
• 서로소 집합 (Disjoint Sets) : 두 집합 A와 B가 서로소(또는 상호 배타적)일 때, 그들의 교집합은 공집합과 같음, 즉 A ∩ B = Ø.

 

Example

1. 집합 연산 예시

  - Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

  - A = {1, 2, 3, 4}

  - B = {3, 4, 5, 6}

  - C = {5, 6}

 

1. 다음 집합 연산의 결과

  - 합집합: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  - 교집합: A ∩ B = {3, 4}

  - 교집합의 여집합: A ∩ C = Ø (빈 집합)

  - 여집합: Aᶜ = {0, 5, 6, 7}

  - 차집합: B \ A = B ∩ Aᶜ = {5, 6} = C

 

1. 집합의 법칙들

  - 교환 법칙(Commutative Laws):

    - A ∪ B = B ∪ A

    - A ∩ B = B ∩ A

  - 결합 법칙(Associative Laws):

    - A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

    - A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

  - 분배 법칙(Distributive Laws):

    - A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

    - A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

  - 드 모르간 법칙(De Morgan's Laws):

    - (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

    - (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ

 

 

 

1. 무한 합집합 (Infinite Union) : 무한히 많은 집합들의 원소 중 적어도 하나의 집합에 속하는 모든 원소들을 포함하는 집합을 의미. 기호로는 다음과 같이 표현: